Current Issue

Fig. 2는 평면 슬롯 광 도파로에 대한 구조로 y축 대칭이다. 슬롯 광 도파로의 최적화 구조를 해석하기 이전에 기본적인 평면 슬롯 광 도파로의 TM, TE모드의 전계 분포 및 특성 방정식을 통하여 슬롯내의 전계 분포를 검토하였다. 각 모드의 전계는 식 (1)에서 정의된 Helmholtz 파동식과 경계조건을 이용해서 해석하였다 [16,17].

Fig. 2. 
Planar slot waveguide structure.

식 (1-1)과 식 (1-2)는 각각 TM과 TE모드에서 E_x(x)와 E_y(x)의 Helmholtz방정식이다. 식 (1)에서 i=s, r, c로 각각 슬롯, 레일, 클래딩을 의미하고, k₀는 진공에서의 파수(wave number), k0=2πλ0로 정의 되며, β는 전파상수(propagation constant), β=2πλ0neff로 정의된다. 또한 |x| = a,|x|=b 는 각각 레일과 슬롯, 슬롯과 클래딩의 경계이다.

2.1.2 TE모드 전계 및 특성 방정식

TE모드는 E_y(x)가 주된 성분이며, 물질의 경계면에서 전계의 경계조건은 아래 식 (6)과 같다.

Eya=Eyax=a

(6-1)

Eyb=Eybx=b

(6-2)

Helmholtz파동식과 TE모드의 경계조건을 이용해서 E_y(x)의 전계 분포와 특성방정식은 각각 식 (7)과 식 (8)로 정리된다 [17].

Eyx=Acosh⁡rsxif x<acosh⁡rsa cos⁡rrx-a+rsrrsinh⁡rsasin⁡rrx-aif a<x<bcosh⁡rsa cos⁡rrb-a+rsrrsinh⁡rsasin⁡rrb-ae-rcx-bif b<x

(7)

arctanrcrr+arctanrsrrtanh⁡rsa+mπ=rrb-a=rrwH

(8)

식 (7)에서 A는 상수이며, r_s, r_r, r_c는 식 (4)에서 정의된 수식과 동일하다.

식 (3)과 식 (7)에 n_r= 2, n_c= 1.3, n_s= 1, λ = 1.55 μm를 적용 후, matlab을 이용해서 도출한 필드분포를 Fig. 3에 나타내었다. Fig. 3(a)는 TM모드의 필드 분포를 나타낸 그래프로 물질간 경계 면에서 전계의 불연속적인 특성이 잘 보여준다. 또한 슬롯내의 전계의 세기가 레일의 전계의 세기보다 크다는 것을 확인할 수 있다. Fig. 3(b)는 TE모드의 필드 분포를 나타낸 그래프로 TM모드와는 다르게 물질 간의 경계에서 전계의 불연속적인 특성이 나타나지 않으며, 슬롯내 전계의 세기가 레일의 전계와 비슷함을 확인할 수 있다 [17].

Fig. 3. 
Electric field distribution of hyperbolic cosine function in slot waveguide with nr = 2, nc = 1.3, ns = 1, λ = 1.55 μm (a) TM mode, (b) TE mode.

지금까지 굴절률의 범위가 n_r>n_c≥n_s, 슬롯 내 전계의 함수가 cosh인 경우에 대하여 간략하게 검토하였다. 그 외의 조건에서 슬롯 광 도파로의 필드 분포는 참고문헌 [16,17]에 자세히 유도되어 있다.

먼저 슬롯 광 도파로의 제원 최적화를 위해 레일의 폭 및 높이 그리고 슬롯의 폭 변화에 따른 구속 계수와 유효 모드 넓이에 미치는 영향을 분석하기 위해서 전산해석을 수행하였다. 레일, 슬롯, 클래딩의 굴절률을 n_r= 2.00, n_s= n_c=1.3로 각각 설정하였다. 첫 번째로, 레일의 폭 변화가 구속 계수와 유효 모드 넓이에 미치는 영향을 전산해석 하였다. Fig. 4는 슬롯 폭과 레일 높이를 200 nm, 400 nm로 설정하고, 레일의 폭을 0.2−0.5 μm로 변화 시켰을 때, 구속 계수와 유효 모드 넓이를 전산해석 한 결과이다.

Fig. 4. 
Confinement factor and effective mode area versus rail width in slot region with w_s=0.2 μm, n_s=1.3, n_r=2, h=0.4 μm, λ=1.55 μm.

Fig. 4에서 레일의 폭이 증가하면 구속 계수는 증가하는 경향을 보인다. 레일의 폭이 0.46 μm에서 구속 계수는 최대값을 보이며, 레일의 폭이 더 커질 경우 구속 계수는 완만하게 감소하는 경향을 보인다. 이때, 구속 계수의 최대값은 0.1605이다. 반면, 유효 모드 넓이는 레일의 폭이 증가하면서 처음에는 급격하게 감소하는 경향을 보이다가 0.35 μm이상에서 유효 모드 넓이가 2.6852 μm²으로 수렴하고, 레일의 폭이 0.47 μm에서 유효 모드 넓이는 최소값이 된다. 그 후에 유효 모드 넓이는 완만하게 증가하는 경향을 보인다. 유효 모드 넓이의 최소값과 구속 계수의 최대값을 만족하는 레일의 폭은 서로 다르지만 매우 근사한 값을 보인다. 본 연구에서는 유효 모드 넓이 보다 구속 계수에 초점을 좀 더 맞추어서 구속 계수의 값이 최대가 되는 0.46 μm를 최적화된 레일의 폭으로 결정하였다.

레일 폭이 증가함에 따라 구속 계수가 증가하다가 감소하는 경향을 보이는 이유를 레일 폭의 증가에 따른 기본 모드(fundamental mode)의 유효 굴절률의 변화를 이용하여 유추해 보았다. 즉 Fig. 5는 레일의 폭 증가에 따른 기본 모드의 유효 굴절률의 변화를 전산해석한 결과이며, 레일의 폭이 증가하면 유효 굴절률은 계속 증가됨을 보이고 있다. 이는 슬롯 내에 구속되어 진행하던 광파들이 레일 폭이 넓어짐에 따라 레일이 또 다른 독립적인 광 도파로 역할을 수행하게 되고, 따라서 굴절률이 높은 레일을 따라 모드가 진행하게 되면서 모드의 유효굴절률이 높아지는 것으로 해석된다.

Fig. 5. 
Effective refractive index versus rail width with w_s= 0.2 μm, n_s= 1.3, n_r= 2, h = 0.4 μm, λ = 1.55 μm.

Fig. 6은 레일의 폭이 0.8 μm일 때, 필드 분포를 나타내었다. E_x(x, y)의 이차원 필드 분포와 E_x(0,y), E_x(x, 1.4)의 일 차원 필드 분포이다. E_x(x, 1.4)의 필드 분포를 확인하면, 모드의 분포는 슬롯에 가장 많이 분포되어 있지만, 레일에도 슬롯과 마찬가지로 많은 양의 전계가 분포 되어있는 것을 확인할 수 있다. 이를 통하여 레일이 독자적인 광 도파로 역할을 수행한다는 것을 알 수 있다. 반면에 E_x(0,y) 필드 분포는 슬롯에 많은 양의 전계가 분포되어 있고, 그 외 영역에는 전계가 0으로 수렴한다. 이때 슬롯의 구속 계수는 0.104, 유효 모드 넓이는 6.12 μm²이며, 이를 통하여 슬롯 내의 광파는 집중되지 못하고 넓은 영역에 분포하며, 레일은 또 다른 광 도파로 역할을 할 수 있음 알 수 있다.

Fig. 6. 
Two dimensional mode profile in slot waveguide with w_s= 0.2 μm, w_r= 0.8 μm, h = 0.4 μm, n_s= n_c=1.3, n_r=2.

제원 최적화를 위한 두 번째로, 레일 높이 변화에 따른 구속 계수와 유효 모드 넓이에 미치는 영향을 Fig. 7과 같이 전산해석 하였다. 레일 폭은 앞서 최적화한 제원인 0.46 μm를 적용하였다. 레일의 높이가 0.3−0.7 μm범위에서 이전의 레일의 폭 변화와는 달u52629 리 구속 계수가 증가하는 경향을 보이고, 유효 모드 넓이는 감소하는 경향을 보이며, 1.89 μm²으로 수렴한다. Fig. 7을 보면 레일 높이가 증가할수록 구속 계수도 증가하기 때문에 레일 높이가 높을수록 합리적으로 보일 수 있다. 그러나 구속 계수의 증가에만 초점을 맞춰 높은 레일 높이를 설정하면 집적 광학 센서의 장점 중 하나인 고 집적화에 부합하지 않기 때문에 레일의 높이는 구속 계수와 유효 모드 넓이 사이에서 적절한 타협으로 정해야 한다. 따라서 최적화된 레일 높이로 0.5 μm 설정하였다. 해당 높이로 설정을 한 이유는 유효 모드 넓이의 값은 2.13 μm²로 최소값인 1.89 μm²와 비교하여도 큰 차이를 보이지 않으며, 더군다나 구속 계수도 약 0.2로 충분히 높은 값을 보이며, 또한 최적화한 레일의 폭과 비슷한 크기로 레일의 높이는 충분히 합리적이다.

Fig. 7. 
Confinement factor and effective mode area versus rail height with w_s = 0.2 μm, n_s = 1.3, w_r = 0.46 μm.

다음으로 슬롯 폭 변화에 따른 구속 계수와 유효 굴절률의 변화를 전산해석 하여 Fig. 8에 나타내었다. 제원 최적화뿐만 아니라 슬롯 폭 변화가 슬롯 광 도파로 구조에 미치는 영향을 확인하기 위해 유효 굴절률을 측정하였다. 또한 레일 폭과 높이는 앞서 최적화한 값인 0.46 μm, 0.5 μm를 사용하였다. 슬롯 폭이 증가하면 구속 계수는 증가하다가 0.2 μm에서 구속 계수는 0.2024로 최대값이 되고 그 이후로, 구속 계수는 감소한다. 따라서 슬롯 폭은 0.2 μm로 설정하였다. 한편 유효 굴절률은 슬롯 폭이 증가하면 감소하는 경향을 보인다. 이는 슬롯 내에 구속 되어 진행하던 광파들이 슬롯 내에 넓게 분포하게 되고, 따라서 굴절률이 낮은 슬롯을 따라 모드가 진행하게 되면서 유효굴절률이 낮아지게 되는 것으로 해석된다.

Fig. 8. 
Confinement factor & effective mode area versus slot width in slot region with w_r = 0.46 μm, n_s = 1.33, h = 0.5 μm.

지금까지 레일 폭, 높이 그리고 슬롯 폭에 대하여 0.46 μm, 0.5 μm, 0.2 μm제원으로 각각 최적화를 했다. 최적화된 슬롯 광 도파로의 E_x(x, y)의 이차원 필드 분포와 E_x(x, 1.4), E_x(0,y)의 일 차원 모드 분포는 Fig. 9와 같다. E_x(0,y)는 슬롯 내에 많은 전계가 분포되며, 그 외 부분에는 0으로 수렴한다. 또한 E_x(x, 1.4)의 경우, 전계는 슬롯 내에 가장 많이 분포한다. 최적화된 제원에서 구속 계수는 0.2024, 유효 모드 넓이는 2.047 μm²이다.

Fig. 9. 
Optimized two dimensional mode profile with x and y field component of quasi-TE mode in slot waveguide.

Fig. 1과 같은 릿지-슬롯 광 도파로의 제원 최적화를 위하여 릿지 두께를 제외한 제원은 이전에 슬롯 광 도파로에서 최적화한 제원을 사용하였다. 릿지-슬롯 광 도파로에서 E_x(x)는 슬롯 광 도파로와 동일하지만, E_y(x)는 릿지 두께와 슬롯의 굴절률에 따라 슬롯 내의 구속 계수 값이 달라진다. 이번 해석에서는 슬롯의 굴절률이 1, 1.1, 1.2인 세 경우에 릿지 두께 변화가 슬롯 내 구속 계수와 유효 모드 넓이에 미치는 영향을 검토하였다. Fig. 10(a)는 슬롯의 굴절률이 1인 경우로 릿지 두께에 따라 구속 계수는 지속적으로 증가하는 경향을 보이며, 유효 모드 넓이는 감소하는 경향을 보이고 있다. Fig. 10(b)는 슬롯의 굴절률이 1.1인 경우로 릿지 두께가 증가하면 구속 계수는 증가하다가 릿지 두께가 0.04 μm에서 구속 계수는 0.1393로 최대가 되며, 이후로는 점차 감소한다. 유효 모드 넓이는 구속 계수와 달리 릿지 두께가 증가하면 지속적으로 감소하는 경향을 보인다. 반면에 슬롯의 굴절률이 1.2인 Fig. 10(c)에서는 릿지 두께가 증가하면 구속 계수의 값은 감소하는 경향을 보이며, 유효 모드 넓이는 증가하는 경향을 보인다. Fig. 10에서 구속 계수는 슬롯 굴절률에 따라 다른 경향을 보였다. 따라서 릿지 두께의 최적화를 위한 슬롯 굴절률을 정해야 한다. 슬롯의 굴절률이 1.2인 경우, 릿지 두께가 증가 시, 구속 계수는 계속 감소하여 제원 최적화하기에 부적합하다. 또한 슬롯의 굴절률이 1인 경우에는 릿지 두께가 증가 시, 구속 계수가 증가하지만 실질적으로 센싱 물질의 굴절률은 1보다 크므로, 해당 굴절률에서 제원을 최적화 하는 것은 무의미하다. 반면에 굴절률이 1.1인 경우에는 특정 릿지 두께에서 구속 계수는 최대값을 가지고 그 이후에는 감소하기 때문에 제원을 최적화 하는데 적절하다. 따라서 릿지 두께의 제원 최적화는 굴절률이 1.1인 경우에 대하여 진행하였고, 최적화된 제원은 0.04 μm로 설정하였다.

Fig. 10. 
Confinement factor & effective mode area versus rib width at slot region in ridge-slot waveguide for (a) slot index = 1, (b) slot index = 1.1 (c) slot index =1.2.

Fig. 11은 최적화한 릿지 두께, g = 0.04 μm 로 릿지-슬롯 광 도파로의 필드 분포, E_x(x,y), E_x(0,y) 그리고 E_x(x,1.4)를 보여주고 있다.

Fig. 11. 
Optimized two dimensional mode profile with x and y field component of quasi-TE mode in ridge-slot waveguide.

슬롯의 굴절률은 1.1을 적용하였다. E_x(x, 1.4)를 보면 기존의 슬롯 광 도파로와 마찬가지로 슬롯 내에 많은 양의 전계가 분포한다. 반면 E_x(0,y)는 해당 굴절률에 따라 슬롯 광 도파로와 릿지-슬롯 광 도파로의 필드 분포를 비교하였다. 녹색의 그래프는 릿지-슬롯 광 도파로의 전계를 나타내며, 파란색 점선은 슬롯 광 도파로의 전계를 나타낸다. 슬롯 내에 전계는 릿지-슬롯 광 도파로가 기존의 슬롯 도파로보다 더 많은 양의 전계가 분포하며, SiO₂ 기판으로 방사되는 전계는 릿지-슬롯 광 도파로가 슬롯 도파로 보다 손실이 적다. 최적화된 제원에서 릿지-슬롯 광 도파로의 구속 계수는 0.1394, 유효 모드 넓이는 2.90 μm²이다.

이번에는 굴절률에 따른 슬롯과 릿지-슬롯 광 도파로에 대해서 y축 광파 세기를 비교하였다. Fig. 12(a), (b)는 슬롯의 굴절률이 각각 1.1, 1.2인 경우에 y축 방향의 광파의 세기를 정규화한 그래프이다. ‘+’ 그래프는 슬롯 광 도파로, 원형 그래프는 릿지-슬롯 광 도파로를 각각 나타낸다. y축이 0−1.2 μm 범위는 SiO₂기판, 1.2−1.24 μm는 릿지 영역, 1.24−1.7 μm 는 슬롯 영역이며, 그 외 부분은 클래딩이다. Fig. 12(a)의 슬롯 광 도파로는 SiO₂로 방사되는 광파가 더 많으며, 릿지-슬롯 광 도파로는 비록 릿지에 많은 양의 광파가 존재하지만 방사되는 광파는 적다. 그로 인해 릿지-슬롯 광 도파로가 더 높은 구속 계수를 보이며 해당 굴절률에서 슬롯 광 도파로와 릿지-슬롯 광 도파로의 구속 계수는 각각 0.12, 0.149이다.

Fig. 12. 
Normalized intensity in slot waveguide and ridge-slot waveguide for (a) slot index = 1.1, (b) slot index = 1.2.

Fig. 12(b)를 보면, SiO₂로 방사되는 광파는 슬롯 광 도파로와 릿지-슬롯 광 도파로 모두 매우 작은 값이다. 릿지-슬롯 광 도파로의 광파의 분포는 여전히 슬롯 보다 릿지에 많이 분포하고 있다. 반면에 슬롯 광 도파로의 경우, 굴절률이 1.1일때 기판과 슬롯의 경계에서 가장 많은 광파가 분포한 경우와 달리 굴절률이 1.2에서는 슬롯 내에 전계가 가장 많이 분포되어 있다. 해당 굴절률에서 구속 계수는 슬롯 광 도파로가 0.185, 릿지-슬롯 광 도파로는 0.169이며, 슬롯 광 도파로에서 높은 구속 계수를 보이는 이유는 슬롯 내 전계가 많이 분포한 경우에 릿지가 위치하면, 릿지와 슬롯의 경계에서 굴절률 차이로 인하여 릿지에 많은 양의 전계가 분포한다. 따라서 슬롯의 구속 계수는 감소하는 것으로 해석할 수 있다.

Fig. 13은 굴절률 변화에 따른 두 구조의 구속 계수의 변화를 나타내었으며, 슬롯의 굴절률이 1−1.133일 경우, 릿지-슬롯 광 도파로의 구속 계수는 슬롯 광 도파로보다 높고, 1.133에서는 두 구속 계수의 값이 동일하다. 그러나 분석 물질의 굴절률이 1.133보다 커지게 되면 슬롯 광 도파로의 구속 계수가 릿지-슬롯 광 도파로보다 더 높아지는 것을 알 수 있다.

Fig. 13. 
Confinement factor versus Analyte index in slot waveguide and ridge-slot waveguide with w_r = 0.46 μm, w_s = 0.2 μm, h = 0.5 μm.