무게측정방식에 따른 Lever-linked Roberval Mechanism의 설계특성

1. 서 론

최근 자동화 및 표준화 기술의 진보에 따라 무게측정기술은 높은 정밀도와 속도를 요구한다. 일반적인 자동화 무게 측정의 기술은 크게 편위법(Deflection Method)과 영위법(Null balance method) 방식이 있다. 두가지 모두 중량이 가해 질 때 발생하는 변형을 기반으로 측정되기 때문에 변형을 발생시키는 로드셀(load cell) 구조의 물리적 특성이 매우 중요하다. 이러한 로드셀 구조의 중요 성능 지표로는 분해능(resolution), 기기의 신뢰성을 확보하기 위한 반복 정도(repeatability), 목표 하중을 만족하는 작동 범위, 반응 속도, 내구성 등이 있다.

기존의 자동화 무게 측정을 위한 로드셀 구조의 설계는 영위법 일 때 위치 반복 정도와 측정속도에 맞추어 설계방식을 제시하였으나, 분해능과 내구성에 집중한 설계는 제시된 바가 없다. 그리고 편위법과 영위법의 경우에도 같은 로드셀 구조를 이용하고 무게측정방식에 따라 다른 특성을 보이지만, 둘을 비교한 연구는 없다[1,2].

이 연구는 측정 하중의 위치에 대한 독립성을 확보하기 위해 일반적으로 사용되는 Roberval mechanism을 적용한다. 또한 높은 분해능을 가지기 위해 레버 증폭 구조를 결합한 Lever-linked Roberval Mechanism(LLRM)의 자유물체도 해석을 통하여 중요한 설계 변수가 무엇인지 밝히고 무게측정방식에 따른 설계 특성을 분석한다. 또한 LLRM의 유한요소해석(Finite Element Method)을 진행하여 타당성을 확보한다.

2. LLRM을 이용한 무게 측정 원리

2.1. LLRM 구조와 원리

Fig 1은 무게 측정용 LLRM을 나타낸다. Roberval mechanism에 증폭을 위해 레버가 연결되어 있는(Lever-linked) 구조 이다.

Fig. 1.

Lever-linked Roberval Mechanism

Roberval mechanism은 단순한 레버의 균형 시스템과 다르게 하중이 같다면 하중의 평면 위치와 관계 없이 같은 수직 변위량을 발생시킨다. 이를 통해 실시간으로 하중이 이동하는 경우에도 정확한 측정이 가능하다[3].

내부 레버의 경우 하중에 의해 입력 단에 변위가 발생하게 되면 내부 힌지 사이의 거리 (l₃)와 내부 레버 길이 (l₄)의 비에 따라 증폭된 변위가 전달된다.

LLRM의 피봇은 유연힌지로 이루어져 있다. 유연힌지의 회전강성과 외부 힌지 사이의 거리(l₂), 내부 힌지 사이의 거리(l₃)에 따라 발생하는 입력 변위량과 출력 변위량이 결정되고 이는 무게 측정 분해능과 최대 허용하중에 큰 영향을 미친다[4,5].

2.2. LLRM의 유연힌지

유연힌지는 LLRM의 중요 구성요소이며, 유연힌지의 회전강성은 LLRM의 최대 하중과 출력 변위량에 직접적인 영향을 미친다.

LLRM에는 Fig. 2에 나타낸 원형 노치 힌지를 이용하였으며 원형 노치 힌지의 중요 변수와 회전강성에 대한 관계식은 Paros와 Weisbord에 의해 유도된 방정식을 통해 다음과 같이 알려져 있다. 유연힌지의 회전강성은 아래와 같이 힌지 두께(b), 노치 두께(t), 노치의 반경(R)과 재료의 탄성계수(E)로 나타낼 수 있다[6].

Fig. 2.

Schematic diagram of flexible hinge

$\[ k_{\theta }=\frac{2Eb{t}^{\frac{5}{2}}}{9\text{π}{R}^{\frac{1}{2}}} \]$

(1)

유연힌지의 특성 중 하나는 변성 변위에 의해 구동 된다는 것이다. 따라서 탄성한계내에서 작동 범위가 제한된다. 이는 재료의 항복응력과 형상에 크게 영향을 받고, 최대 허용하중을 제한하게 된다. 부재에 하중이 가해진다고 할 때 유연힌지의 노치 중앙의 표면에서 최대 굽힘 응력이 발생하고, 최대 굽힘 응력(σ_a)이 항복응력(σ_max)보다 클 경우 파손이 일어난다. 이것을 수식으로 나타내면 아래와 같다.

$\[ {\text{σ}}_a\ge {\text{σ}}_{max}=\frac{M_y}{S_y} \]$

(2)

노치 중앙의 단면계수(S_y) 는 다음과 같다.

$\[ S_y=\frac{b{t}^2}{6} \]$

(3)

3. 자유물체도를 이용한 LLRM 해석

3.1. LLRM의 자유물체도

무게측정방식에는 앞서 보듯 크게 편위법과 영위법으로 나뉜다. 각각 방법에 따른 LLRM의 자유물체도를 해석하고 그에 따른 무게 측정 분해능과 최대 허용하중을 구한다.

3.1.1. 편위법 LLRM

Fig. 3은 편위법 LLRM의 변위량과 자유물체도를 나타낸다. 외부 힌지의 변위와 내부 힌지의 변위는 외부 힌지의 모멘트(M₁), 내부 힌지의 모멘트(M₂), 외부 힌지의 회전강성(k_θ1), 내부 힌지의 회전강성(k_θ2) 으로 나타낼 수 있다.

Fig. 3.

Free Body Diagram of Deflection method LLRM (a) Displacement of Deflection method LLRM, (b) Simplify Free Body Diagram of Deflection method LLRM

$\[ {\text{δ}}_y=\frac{M_1{l}_2}{k_{\mathrm{\theta }1}}=\frac{M_2{l}_3}{k_{\mathrm{\theta }2}} \]$

(4)

FBD를 통해 구한 하중(F)와 외부 힌지의 수직력(f₁), 내부 힌지의 수직력(f₂), 모멘트의 관계식은 아래와 같다.

$\[ {\mathrm{\Sigma }}^{F=0,F-4f_1-2f_2=0} \]$

(5)

$\[ {\mathrm{\Sigma }}^{M=0,f_1{l}_2-2M_1=0,f_2{l}_3-2M_2=0} \]$

(6)

연립하여 각각 정리하면 아래와 같다.

$\[ \begin{array}{c}{M}_1=\frac{l_2{l}_3^2{k}_{\theta 1}}{8l_3^2{k}_{\theta 1}+4l_2^2{k}_{\theta 2}}F,M_2=\frac{l_2^2{l}_3{k}_{\theta 2}}{8l_3^2{k}_{\theta 1}+4l_2^2{k}_{\theta 2}}F\\ f_1=\frac{l_3^2{k}_{\theta 1}}{4l_3^2{k}_{\theta 1}+2l_2^2{k}_{\theta 2}}F,f_2=\frac{l_2^2{k}_{\theta 2}}{4l_3^2{k}_{\theta 1}+2l_2^2{k}_{\theta 2}}F\\ {\text{δ}}_y=\frac{l_2^2{l}_3^2}{8l_3^2{k}_{\theta 1}+4l_2^2{k}_{\theta 2}}F\end{array} \]$

(7)

내부 레버 길이 l₄를 고려하여 최종적으로 출력되는 변위는 다음과 같다.

$\[ {\mathrm{\delta }}_{amp}=N\text{*}\frac{l_2^2{l}_3^2}{8l_3^2{k}_{\theta 1}+4l_2^2{k}_{\theta 2}}F \]$

(8)

N은 레버의 증폭비이고 l₄-l₃/l₃로 나타낸다. 변위량 관계식으로부터 유연힌지의 회전강성이 증가하면 변위가 작아지는 것을 알 수 있고, 2.2절으로부터 힌지 두께와 노치 두께는 유연힌지의 회전강성과 탄성한계를 결정한다는 것을 알았다. 최대 허용하중을 늘리기 위해서는 유연힌지의 회전강성의 크기를 키워야 하지만, 변위가 작아져 충분한 분해능을 얻지 못할 수 있다. 따라서 적절한 유연힌지의 설계가 이루어 져야한다.

3.1.2. 영위법 LLRM

영위법의 자유물체도의 경우 평형을 이루기 위해 출력단에 힘(F₂)이 가해진다. 이를 바탕으로 자유물체도를 Fig. 4에 나타낸다. 자유물체도 해석을 바탕으로 정리하면 아래와 같이 정리할 수 있다.

Fig. 4.

Free Body Diagram of Null balance method LLRM

$\[ \begin{array}{c}{f}_1=\frac{l_3^2{k}_{\theta 1}}{4l_3^2{k}_{\theta 1}+2l_2^2{k}_{\theta 2}}{F}_1-\frac{l_3\left(l_4-l_3\right)k_{\theta 1}}{4l_3^2{k}_{\theta 1}+2l_2^2{k}_{\theta 2}}{F}_2\\ f_2=\frac{l_3\left(l_4-l_3\right)k_{\theta 1}}{4l_3^2{k}_{\theta 1}+2l_2^2{k}_{\theta 2}}{F}_2-\frac{l_2^2{k}_{\theta 2}}{4l_3^2{k}_{\theta 1}+2l_2^2{k}_{\theta 2}}{F}_1\\ M_1=\frac{l_2{l}_3^2{k}_{\theta 1}}{8l_3^2{k}_{\theta 1}+4l_2^2{k}_{\theta 2}}{F}_1-\frac{{l_{2}l}_3\left(l_4-l_3\right)k_{\theta 1}}{8l_3^2{k}_{\theta 1}+4l_2^2{k}_{\theta 2}}{F}_2\\ M_2=\frac{l_2^2\left(l_4-l_3\right)k_{\theta 2}}{8l_3^2{k}_{\theta 1}+4l_2^2{k}_{\theta 2}}{F}_2-\frac{l_3{l}_2^2{k}_{\theta 2}}{8l_3^2{k}_{\theta 1}+4l_2^2{k}_{\theta 2}}{F}_1\\ {\delta }_y=\frac{l_2^2{l}_3^2}{8l_3^2{k}_{\theta 1}+4l_2^2{k}_{\theta 2}}{F}_1-\frac{{l_2^{2}l}_3\left(l_4-l_3\right)}{8l_3^2{k}_{\theta 1}+4l_2^2{k}_{\theta 2}}{F}_2\end{array} \]$

(9)

3.2 무게 측정 분해능

3.1.1절에서 편위법 자유물체도 해석을 통해 LLRM의 변위량 관계식을 구하였다. 변위량 관계식으로부터 편위법 LLRM의 무게 측정 분해능을 구할 수 있다. 아래 식은 무게 측정 분해능을 나타낸다.

$\[ F_{res}=\frac{S_{res}}{N}\frac{8l_3^2{k}_{\theta 1}+4l_2^2{k}_{\theta 2}}{l_2^2{l}_3^2} \]$

(10)

F_res은 무게 측정 분해능을 입력 힘으로 나타낸 것이고, S_res은 센서 분해능이다.

외부 힌지 사이의 거리(l₂)와 내부 레버의 길이(l₄)의 경우는 LLRM의 크기와 직접적인 관계가 있으므로 고정 값으로 가정한다. 유연힌지의 회전강성에 큰 영향을 가지는 노치의 두께에 관한 식으로 정리하기 위해 무게 측정 분해능 식을 유연힌지 식을 대입하면 아래와 같다.

$\[ \begin{array}{c}{F}_{res}=\frac{{2S}_{res} E\left(l_4-l_3\right)}{9\pi }\frac{8l_3^2{C}_1{t}_1^{\frac{5}{2}}+4l_2^2{C}_2{t}_2^{\frac{5}{2}}}{l_2^2{l}_3^3}\\ C_1=\frac{b_1}{R_1^{\frac{1}{2}}},C_2=\frac{b_2}{R_2^{\frac{1}{2}}}\end{array} \]$

(11)

이 때 무게 측정 분해능의 성능은 외 내부 유연힌지 노치 두께 (t₁,t₂)에 반비례하고, 내부 힌지 사이 거리(l₃)에 비례한다.

영위법의 경우도 측정 하중 F₁의 변화에 따른 변위는 편위법과 같고, 이를 보상하여 하중을 측정하므로 같은 측정 분해능을 가진다.

Fig. 5는 설계변수 t₁,t₂,l₃에 따른 분해능을 무게로 나타낸다.

Fig. 5.

Resolution according to thickness of notch (t1,t2) and length between inner hinges (l3)

3.3. 최대 허용하중

LLRM을 설계하는 데 있어 중요한 요소는 분해능과 최대 허용하중이다. 최대 허용하중을 결정하는 최대응력은 편위법과 영위법 모두 내부 유연힌지에서 발생한다. 두가지 방식 모두 회전변형에 의해 발생하는 최대굽힘응력과 인장력에 의해 발생하는 인장응력의 합으로 최대응력을 나타낼 수 있다. 편위법을 채택할 경우 2.2절에 나타낸 최대굽힘응력이 크게 작용하고, 영위법의 경우 평형을 이루는 상태에서 내부 힌지에서 발생하는 인장응력이 크게 작용한다.

3.3.1. 편위법 LLRM 최대 허용하중

편위법의 경우에 내부 유연힌지의 최대굽힘응력(σ_b)과 인장응력(σ_y)은 아래와 같이 나타낸다.

$\[ \begin{array}{c}{\sigma }_y=\frac{2}{b_2}\frac{l_2^2{C}_2{t}_2^{\frac{3}{2}}}{2l_3^2{C_1{t}_1^{\frac{5}{2}}+l}_2^2{C}_2{t}_2^{\frac{5}{2}}}F\\ F_{m ax}=\frac{{R_2}^{\frac{1}{2}}}{l_2^2}\frac{4l_3^2{C}_1{t}_1^{\frac{5}{2}}+2l_2^2{C}_2{t}_2^{\frac{5}{2}}}{3l_3{t}_2^{\frac{1}{2}}+4t_2^{\frac{3}{2}}}{\sigma }_{m ax}\end{array} \]$

(12)

F_max는 LLRM의 최대 허용하중, σ_max은 재료의 항복응력이다.

최대 허용하중은 외 내부 유연힌지 노치 두께 (t₁, t₂)에 비례하고, 내부 힌지 사이 거리(l₃)에 반비례한다. Fig. 6은 편위법 LLRM에서 설계변수 t₁, t₂, l₃에 따른 최대 허용하중을 무게로 나타낸다.

Fig. 6.

Maximum allowable load of Deflection method

3.3.2. 영위법 LLRM 최대 허용하중

영위법으로 측정 할 때 발생하는 최대응력은 평형제어 과정에서 발생하는 힌지의 회전변형에 의한 굽힘응력과 인장응력, 그리고 제어력에 의해 발생하는 z축 방향의 모멘트에 의한 전단응력으로 발생한다. 각 응력을 아래 식과 같이 나타낸다.

$\[ \begin{array}{c}{\sigma }_b=\frac{6}{b_2{t}_2^2}\left(\frac{l_2^2\left(l_4-l_3\right)C_2{t}_2^{\frac{5}{2}}}{8l_3^2{C}_1{t}_1^{\frac{5}{2}}+4l_2^2{C}_2{t}_2^{\frac{5}{2}}}{F}_2-\frac{{l_{3}l}_2^2{C}_2{t}_2^{\frac{5}{2}}}{8l_3^2{C}_1{t}_1^{\frac{5}{2}}+4l_2^2{C}_2{t}_2^{\frac{5}{2}}}{F}_1\right)\\ {\sigma }_y=\frac{1}{b_2{t}_2}\left(\frac{l_3\left(l_4-l_3\right)C_1{t}_1^{\frac{5}{2}}}{4l_3^2{C}_1{t}_1^{\frac{5}{2}}+2l_2^2{C}_2{t}_2^{\frac{5}{2}}}{F}_2-\frac{l_2^2{C}_2{t}_2^{\frac{5}{2}}}{4l_3^2{C}_1{t}_1^{\frac{5}{2}}+2l_2^2{C}_2{t}_2^{\frac{5}{2}}}{F}_1\right)\\ {\sigma }_z=\frac{3}{b_2{t}_2}\frac{l_2^2{C}_2{t}_2^{\frac{5}{2}}}{4l_3^2{C_1{t}_1^{\frac{5}{2}}+2l}_2^2{C}_2{t}_2^{\frac{5}{2}}}{F}_1\end{array} \]$

(13)

$\[ {\sigma }_{m ax}=\sqrt{{\left({\sigma }_b+{\sigma }_y\right)}^2+{\sigma }_z^2} \]$

(14)

Fig. 7은 영위법 LLRM에서 설계변수 t₁, t₂, l₃에 따른 최대 허용하중을 무게로 나타낸다. 영위법의 경우 같은 설계 치수를 가진다면 편위법에 비해 응력이 약 17.4배 정도 감소한다.

Fig. 7.

Maximum allowable load of Null balance method

4. LLRM 최적설계

4.1. LLRM 설계 제한 조건

3장에서 살펴본 LLRM의 자유물체도 해석을 보면 최대 허용하중과 분해능은 서로 반비례하는 것을 확인할 수 있다. 또한 외 내부 힌지 노치의 두께 (t₁,t₂)와 내부 힌지 사이 거리 (l₃)가 성능에 영향을 미치는 것을 확인하였다. t₁,t₂의 경우 얇을수록 분해능이 좋아지지만, 최대 허용하중이 감소하는 것을 알 수 있고, 반대로 l₃의 경우 커질수록 분해능이 좋아지고, 최대 허용하중이 감소한다.

이 장에서는 파손이 일어나지 않는 조건에서 분해능이 최소가 되는 것을 설계 목표로 한다. 이를 위한 핵심 설계 변수와 구속 조건을 Table 1에 나타낸다.

Table 1.

Design variables and Constraints of LLRM

4.2. 측정하중 분해능의 최소화 설계

자유물체도 해석 결과를 보면t₂의 경우 영향이 제일 크고 작게 설계 할수록 높은 분해능을 얻을 수 있기 때문에 얇게 가공할 수록 이득이지만, 그에 따른 파손을 막기 위해 적절한 l₃와 t₁이 요구된다.

4.2.1. 편위법 LLRM분해능의 최소화 설계

최소 분해능을 가지는 t₁, t₂에 대한 설계 결과를 l₃에 따라 Table 2에 나타낸다. 최대 허용하중의 경우에는 안전계수 1.25를 고려하였다.

Table 2.

Optimal design result of Deflection method LLRM

유연힌지 노치 두께 가공성을 고려하여 이 중 l₃=4, t₁=0.2, t₂=0.22을 최적의 설계 수치로 결정하고 이 때 분해능은 0.0330g, 최대 허용하중은 3.57kg이다. 자유물체도 해석을 통한 최적설계와의 최대 오차는 9%이다.

4.2.2. 영위법 LLRM분해능의 최소화 설계

최소 분해능을 가지는 t₁,t₂에 대한 설계 결과를 l₃에 따라 Table 3에 나타낸다. 편위법과 마찬가지로 최대 허용하중의 경우에는 안전계수 1.25를 고려하였고, 평형 제어 시 발생하는 힘의 불균형에 의한 모멘트의 영향을 고려하기 위해 20%의 편하중을 고려하였다. 최소 분해능을 가지는 l₃=20, t₁=0.21, t₂=0.2를 최적의 설계 수치로 결정하고 이 때 분해능은 0.0072g, 최대 허용하중은 3.51kg이다. 그러나 영위법의 경우 편위법에 비해 증폭비가 작게 설계되고, 이는 제어력의 크기를 증가시켜 자기구동기의 높은 성능을 요구한다. 따라서 제어력의 한계를 고려하면 분해능의 성능이 감소된다.

Table 3.

Optimal design result of Null balance method LLRM

5. 유한요소해석을 통한 최적설계 검증

앞서 자유물체도 해석에 따라 LLRM의 설계를 수행하였다. 이 설계의 타당성을 검증하기 위해 유한요소해석을 이용하여 LLRM의 분해능과 최대 허용하중을 구하고자 한다. 유한요소해석 프로그램은 ANSYS-Mechanical을 사용하였다. 자유물체도를 통해 얻은 조건으로 유한요소해석을 진행한 결과를 아래 Table 4에 나타낸다. 자유물체도 해석을 통한 최적설계와의 최대 오차는 19.7%이다

Table 4.

FEM result of LLRM

Fig. 8.

FEM result of LLRM design

6. 결 론

무게측정용 Lever-linked Roberval Mechanism의 중요한 설계변수를 밝혔으며, 무게측정방식에 따라 최소 분해능을 가지는 구조를 설계하였다. 또한 유한요소해석을 통하여 이를 검증하였다. 이를 통해 얻은 결과는 다음과 같다.

1) t₁,t₂가 얇을수록, l₃가 클수록 분해능이 좋아지고, 최대 허용하중은 작아진다. 세가지 변수 중 t₂의 영향이 제일 크다.

2)같은 설계치수일 때 영위법이 편위법에 비해 발생하는 응력이 약 17.4배 작고, 같은 최대 허용하중일 때 분해능이 약 4.6배 좋아진다. 따라서 자기구동기의 제어력 한계를 고려하더라도 편위법보다 영위법의 성능이 우수하다.

3) 자유물체도 해석 결과를 유한요소해석과 비교하여, 편위법의 경우 최대오차 9%, 영위법의 경우 최대 오차 19.7% 로 자유물체도 해석은 LLRM설계의 방향을 제시하는데 유효하다.

Acknowledgments

이 과제는 부산대학교 기본연구지원사업(2년)에 의하여 연구하였음

References

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